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2004年全国高中数学联合竞赛(天津初赛)试题(含答案)

二00四年全国高中数学联合竞赛(天津初赛)

(9月19日上午9:00~11:00)

一、选择题(本题共6个小题,每小题5分满分30分)

(1)若函数f(x) 11 8cosx 2sin

2

x的最大值为a,最小值为b,则

a 1b

等于( )

(A)18 (B)6 (C)5 (D)0 (2)若0 a b,且a b 1,则下列各式中最大的是( ) (A) 1 (B)log(C)log2b

2

a log

3

2

b 1

2

3

(D)log2(a ab ab b)

2

(3)已知数列2004,2005,1, 2004, 2005,…,这个数列的特点是从第二项起,每一项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前2004项之和S2004等于( ) (A)2005

(B)2004 (C)1 (D)0

e ee e

xx

x x

(4)已知函数f(x)

1

的反函数是f

1

1

(x),且

|f|f

1

( 0.8)|(0.6)|32

1

k,则( )

32

(A)k (0,) (B)k (,1)

2

2

(C)k (1,) (D)k (,2)

(5)正四棱锥S ABCD中,侧棱与底面所成的角为 ,侧面与底面所成的角为 ,侧面等腰

三角形的底角为 ,相邻两侧面所成的二面角为 ,则 、 、 、 的大小关系是( ) (A) (C)

(B) (D)

(6)若对任意的长方体A,都存在一个与A等高的长方体B,使得B与A的侧面积之比和体积之比都等于k,则k的取值范围是( ) (A)k 0 (B)0 k 1

(C)k 1

(D)k 1

二、填空题(本题共6个小题,每小题5分,满分30分)

(7)若关于x的方程

xlg

2

a 1

x lga

x只有一个实数解,则a的值等于 .

(8)在 ABC中,若tanA

12

tanB ,

13

,且最长的边的长为1,则最短的边的的长等于.

(9)若正奇数n不能表示为三个不相等的合数之和,则满足条件的n的最大值为 . (10)设a、b、c是直角三角形的三条边长,且(a b c) 2(a

n

n

n

2

2n

b

2n

c

2n

),其中n N,

*

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