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高等数学第五版下册第十一章曲线积分与曲面积分复习知识点及例题答案

第11章 曲线积分与曲面积分

一.曲线积分

1.对弧长的曲线积分 (第一类)

高等数学第五版下册第十一章曲线积分与曲面积分复习知识点及例题答案

典型例题:

(1)圆周

{

x acosty asint

0 t 1

2

2

L

(x

2

y

2n

2

)ds (aco2st a2sint)n(acost)'2 (asint)'2dt 2 a2n 1

ds L是(1,0)到(0,1)的直线段 (2)线段:把线段表示出来 (x y)

L

原式=

(x 1 x)x 1dx 2

1

直线为:y=1-x

(3)圆弧的整个边界(分段)

e

L2

x2 y2

ds

2

2a

2

a

e

x

dx e

40

a

acos't) (asin't)dt

e

x2 y2

1dx ea(2

4

a) 2

(4)参数方程 (公式)

(5)利用折线围成的封闭图形 (坐标分段)AB:

x

2

yzds A(0,0,0) B(0,0,2) C(1,0,2) D(1,3,2)

30

AB

0 BC:

AB

BC

0 CD:

CD

CD

12y2 1 0dy y2 9

3

BC

9

2.对坐标的曲线积分 (第二类)

L

P(x,y)dx Q(x,y)dy {P[ (t), (t)] '(t) Q[ (t), (t)] '(t)dt

2

{y asitn0 t 1 Lxydx圆周 (x a) y2 a2(a 0)及x轴在一

x acots

典型例题

(1)圆周

象限 逆时针

{L1:

L2

x a acosty asint

(0 t 1),L2:{

x xy 0

2a

L

L1

a(1 cost)asint(a acost)'dt 0dx

2

a3

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