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2018届高考数学二轮复习多变量表达式范围(消元法、数形结合法、基本不等式法、规划法)学案含答案

专题44 多变量表达式范围(消元法、数形结合法、基本不等式法、规划法) 考纲要求:

在有些多变量表达式的题目中,所提供的条件为不等关系,则也可根据不等关系进行消元,从而将多变量表达式转化为一元表达式,便于求得最值

基础知识回顾:

1、放缩法求最值的理论基础:

不等式的传递性:若()()(),,f x y g x g x m ≥≥,则(),f x y m ≥

2、常见的放缩消元手段:

(1)抓住题目中的不等关系,若含有两个变量间的不等关系,则可利用这个关系进行放缩消元

(2)配方法:通过利用“完全平方式非负”的特性,在式子中构造出完全平方式,然后令其等于0,达到消元的效果

(3)均值不等式:构造能使用均值不等式的条件,利用均值不等式达到消元的效果

(4)主元法:将多元表达式视为某个变量(即主元)的函数,剩下的变量视为常数,然后利用常规方法求得最值从而消去主元,达到消元的效果。

3、放缩消元过程中要注意的地方:

(1)在放缩过程中应注意所求最值与不等号方向的对应关系,例如:若求最小值,则对应的不等号为“≥”;若求最大值,则对应的不等号为“≤”。放缩的方向应与不等号的方向一致

(2)对进行放缩消元后的式子,要明确是求其最大值还是最小值。放缩法求最值的基础是不等式的传递性,所以在求最值时要满足其不等号的方向一致。若将关于,x y 的表达式(),f x y 进行放缩消去y ,得到

()g x ,例如()(),f x y g x ≥,则下一步需要求出()g x 的最小值(记为m )

,即()(),f x y g x m ≥≥,通过不等式的传递性即可得到(),f x y m ≥。同理,若放缩后得到:()(),f x y g x ≤,则需要求出()g x 的最大值(记为M ),即()(),f x y g x M ≤≤,然后通过不等式的传递性得到(),f x y M ≤

(3)在放缩的过程中,要注意每次放缩时等号成立的条件能够同时成立,从而保证在不等式中等号能够一直传递下去

4、高中知识中的“线性规划”即为数形结合求多变量表达式范围的一种特殊情形,其条件与所求为双变量的一次表达式

5、有些利用数形结合解决的题目也可以使用放缩消元的方式进行处理,这要看所给的不等条件(尤其是不

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