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立体几何初步复习

I 【典例解析】

例1. 在正方形1111D C B A ABCD -中,已知正方体的棱长为2,M 、N 分别在其对角线AD 1与DB 上,若AM=BN=x 。

(1)求证:MN//平面CDD 1C 1;

(2)设MN=y ,求y=f(x)的表达式;

(3)求MN 的最小值,并求此时x 的值;

(4)求AD 1与BD 所成的角。

(1)证明:作MP ⊥DD 1,NQ ⊥CD ,连结PQ ,如图所示。

∵正方形ADD 1A 1与ABCD 有公共边AD ,

2BD AD 1==∴

又∵AM=NB=x ,∵D 1M=DN=2-x

又∵AD ⊥DD 1,AD ⊥CD ,MP ⊥DD 1,NQ ⊥CD , ∵MP//AD//NQ

∴D 1M :AD 1=MP :AD ,DN :DB=NQ :BC

∴MP=NQ

∴四边形MNQP 为平行四边形

∵MN//PQ ,⊂PQ 平面DCC 1D 1

∴MN//平面DCC 1D 1

(2)解:作MH ⊥AD ,连结NH

∵MH//AA 1//DD 1,∴AH :HD=AM :MD 1=BN :ND ∴HN//AB

又∵AA 1⊥AB ,∴MH ⊥HN

在Rt △MAH 中,∠MAH=45°,∴MH x 22

AM 22

==

同理)x 2(22

DN 22

HN -==

在Rt △MHN 中,2

x 2x )x 2(21

x 21

HN MH MN 22222+-=-+=+= 即)2x 0(2x 2x y 2<<+-=

(3)解:)2x 0(1)1x (2x 2x y 22<<+-=+-= ∴当x=1时,y 有最小值1,即MN 的最小值为1。

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