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信号与系统答案第2章习题 重大版

第二章习题

2-1 已知系统的微分方程为

d2y(t)dy(t) 3t

3 2y(t) e 2

dtdt

且初始条件为y (0) 1和y(0) 2。求系统的自由分量和强制分量。 解:

系统的自由分量为微分方程的齐次解,即

d2y(t)dy(t)

3 2y(t) 0 2

dtdt

特征方程

2 3 2 0

求得特征根: 1 1, 2 2,则系统的通解为yn(t) c1e t c2e 2t,c1,c2为待定系

数。

微分方程的右边是指数形式的激励,故设特解为yf(t) Ae将特解代入微分方程,

3t

,A为待定系数。

y f(t) 3Ae 3t,y f (t) 9Ae 3t

9Ae 3t 9Ae 3t 2Ae 3t e 3t

11 3t

,则yf(t) e,于是系统全解:

22

1

y(t) c1e t c2e 2t e 3t

23

y (t) c1e t 2c2e 2t e 3t,根据给定的初始条件有: 既有

2

1

c1 c2 2

23

c1 2c2 1

2

11

求得c1 ,c2 4所以系统的自由响应和强制响应分别为:

2

11

yn(t) e t 4e 2t

21

yf(t) e 3t

2

求得A

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