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无穷级数习题课有答案

第十二章 无穷级数习题课

一、本章主要内容

常数项级数的概念与基本性质,正项级数审敛法,交错级数与莱布尼兹审敛法,绝对收敛与条件收敛。幂级数的运算与性质(逐项求导、逐项积分、和函数的连续性),泰勒级数,函数展开为幂级数及幂级数求和函数,周期函数的傅立叶级数及其收敛定理。 二、本章重点

用定义判别级数的收敛,P-级数、正项级数的审敛法,莱布尼兹型级数的审敛法,幂级数的收敛域与收敛半径,幂级数求和函数,函数的泰勒级数,傅立叶级数收敛定理。 三、例题选讲

1 ln 1

n 的敛散性。

例1:判别级数 (用定义)

n 2lnnln1 nln 1 n lnn 11

解:原式= ( )

lnnln1 nlnnln(n 1)n 2n 2

级数的部分和Sn

11 11 1 1

ln2ln3ln3ln4lnnln(n 1)

111 , n ln2ln(n 1)ln2

1

。 ln2

所以原级数收敛,且收敛于

例2:判别下列级数的敛散性

n 1 1 1 n

(1) ln , (2) , (3) 2

nnn lnn2n 1 n 1 n 1n 1

xn1! 2! n!

(4) ,(5) ,(x 0) 2n

2n!n 1 1 x 1 x 1 xn 1

n

(6)

1 lnn

n 13

1n 111 ln ln(1 ) 0, nnnn

解:(1)因为ln(1 n) lnn,所以

而 ln

n 1n1 1

, ln ln 1

nn 1n 1 n 1

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